Estimando la distancia

¡¡ Estimando la distancia !!

Autor: Emilio Palomares “Snowball”

Muchos hemos sido los que hemos buscado una relación matemática que ayudara a obtener medidas en nuestra rueda de paralaje por no poder conseguir algunas de ellas. Sabemos que existe el software que hace eso, y que éste nos evitaría quebraderos de cabeza, pero aun sabiéndolo seguimos buscando dicha relación.

No tardé mucho en hacer una tabla en Excel que contrastara los datos de posición que obtuve en mi rueda de paralaje con las distancias estimadas (esta es la palabra clave). Excel nos permite dibujar gráficas y posteriormente nos devuelve un ajuste a una función logarítmica, exponencial, lineal... Rápidamente me di cuenta de que todos los ajustes mencionados eran muy inexactos, pues nos devolvían un coeficiente de Pearson muy pobre, y por tanto no validos. Ni que decir tiene que intentar un ajuste manual o utilizar un polinomio de Taylor sería demasiado tedioso o más bien casi imposible.

R² o coeficiente de Pearson: Coeficiente que nos devuelve la relación entre los datos explicados (datos que se ajustan a una función con un nivel de confianza determinado) y los datos totales.

Una vez llegado a este punto, y analizados los resultados obtenidos, decidí enfocar las ideas hacia otro camino. Repasando lo que tenía me paré un momento en una serie de ideas/elementos de las que disponía: estimación, coeficiente de Pearson, error... Todas estas palabras no estaban en mis apuntes de cálculo de la universidad sino en los de estadística, de modo que cambie el Excel por el Statgraphics.

Antes de comenzar con las explicaciones definiré bien lo que queremos. Si fijamos un punto determinado de la rueda de paralaje como un punto inicial de posición, punto que al igual que los demás llevará asignado un valor de distancia estimada, podemos obtener un valor de distancia estimada para cada una de los puntos siguientes de la rueda de paralaje en relación con el punto inicial elegido. Hasta aquí fácil. Necesitamos pues un mínimo de datos que nos permitan obtener dicha relación, datos que sin remedio tendremos que obtener de manera práctica o, dicho más científicamente, experimental.

Obtenidos los datos que nos permitan operar comenzamos, como he dicho, asignando una valor de posición para cada distancia. En mi caso, y tras realizar el reparalaje de Xaloc, la distancia inicial fueron los 12 metros a los que di el valor cero de posición. Mediremos ahora las distancias que existen entre marcas y las referiremos a la posición inicial 0. Las herramientas que utilizaremos serán las siguientes:

Calibre

Regla o cinta métrica

Compás

Calculadora

Papel y lápiz

Transportador de ángulos

El objetivo será medir de la manera mas exacta lo anteriormente mencionado, y para ello podemos utilizar varios métodos.

Método 1 - Utilizando una cinta métrica fijando su extremo a lo que definiremos como cero.

Método 2 - Podemos marcar las distancias en una hoja y medir dichos datos bien con una regla o bien con un calibre. Marcar las distancias en una circunferencia de igual diámetro que la rueda y posteriormente medir los ángulos entre distancias. Utilizar la fórmula:

Después extrapolar los resultados obtenidos sobre una línea recta y sobre las que mediremos las distancias con una regla o con el calibre.

Aquí se puede observar muy bien. Lo que queremos una vez obtenida esta recta es rellenar los huecos entre las marcas comprendidas entre 12 y 50 metros.

Al dibujar la circunferencia lo mas exacto sería medir el diámetro de la rueda con el calibre o la regla y trazar con el compás dicha curva. En el caso de usar la propia rueda como plantilla deberemos asegurarnos de poder obtener el centro de la misma con exactitud (lo que se puede conseguir con el compás teniendo nociones básicas de geometría).

Método 3 - Midiendo sobre la circunferencia anterior las longitudes de cuerda y extrapolando de nuevo sobre una recta. También sería correcto y plausible obtener la función que deseamos respecto de la variable longitud de cuerda en vez de longitud de arco.

La medida que se muestra en la siguiente fotografía es equivalente a la anterior (longitud de cuerda) pero medida sobre la rueda directamente.

Volviendo al asunto inicial, y obtenido algo parecido a lo siguiente (todas las medidas están dadas en milímetros), comenzaremos con lo difícil.

Podríamos estar hablando muchísimo tiempo de diferentes métodos, pero esto no es una clase de estadística. Opté por utilizar una regresión simple (dos variables, una dependiente y otra independiente) con la que pretendo analizar los datos tal y como los tenemos inicialmente.

Lo más correcto sería dar más de un dato de posición para cada distancia estimada de manera que obtuviéramos una nube de puntos. Esto nos haría repetir el proceso de hacer las marcas preliminares de la rueda y extrapolar a una recta para medir nuevamente los valores de posición. Una vez hecho esto se buscaría el valor mas repetido y el que mejor se ajustará a la curva ideal y se decidiría con cual trabajar. Dado lo largo y tedioso de esto nos lo saltamos. Espero si hay algún matemático entre los lectores que me perdone.

Tomaremos la distancia estimada como la variable x puesto que es conocida (corresponderá a números enteros del 10 al 50) y lo que queremos predecir es su posición en la rueda del visor (la variable y). Statgraphics nos devuelve los siguientes valores:

El análisis nos dice que el ajuste a un modelo lineal no es válido:

R² = 82%

T estadístico con valor absoluto menor que 2

P_valor, mayor del 0'005

Estos resultados son indicativos de que el ajuste no es aceptable. Si utilizamos la herramienta de comparación de modelos alternativos vemos que si transformamos los datos de las x a la función 1/x Statgraphics puede obtener una función de ambas variables en las que se expliquen el 98'3 % de los datos (bastante aceptable).

En la figura de más arriba la gráfica que se muestra a la derecha es la comparación del ajuste a un modelo lineal respecto a modelo ideal lineal (observado vs. predicho). Todos los indicativos muestran que para la regresión la relación entre las variables es significativa en un intervalo de confianza del 99% y por tanto que el ajuste es válido. Podríamos ajustar aún más el nivel de confianza, pero a este nivel no resultaría practico. La función obtenida es:

Posición = (239'09 – 3261'24) · (1/distancia estimada)

La herramienta de comparación de modelos alternativos nos indica a cual de los modelos generales de Statgraphics se ajusta más, pero no nos dice cuál es la función matemática que más se ajusta. Así pues, una vez conocida la transformación de (1/x)·(x-1) deberíamos buscar nuevas funciones cambiando el exponente de la variable x ( –1'5, –2, ...), cambiando la ordenada en el origen, etcétera. Todo esto, desgraciadamente, se debe hacer a mano, luego dado lo complicado y tedioso de este procedimiento nos conformaremos con el resultado ya obtenido.

Ya sólo nos resta darle un valor a la variable distancia estimada para que nos devuelva su posición en la rueda de paralaje. Si volvemos a Excel, donde inicialmente representamos los resultados obtenidos, y generamos una tabla con valores del 12 al 50 aplicándoles la función anterior y sacando su representación podremos comparar ambas gráficas.

La tabla utilizada para esta representación será la que implementaremos en una hoja para posteriormente adaptarla a la rueda de paralaje.

El ajuste que hemos conseguido se ajusta al modelo de forma general, de modo que es normal que la posición del los extremos o de algún valor concreto no tenga asignado el mismo valor que inicialmente. Conociendo esto y a la vista de la comparación de las gráficas (superpuestas) vemos que el ajuste empieza a ser aceptable a partir del segundo valor, en mi caso en la distancia 13. Entonces tomaremos ésta como referencia al posicionar la tira que imprimamos con los valores de la tabla. Se pueden utilizar muchos métodos y hacer infinidad de pruebas y ajustes por distintas funciones. De hecho continuando con el método anterior he obtenido mejores resultados. También es posible conseguir resultados como este por otros métodos, pero resultan demasiado complicados. Con la función

y = (226'798 - 15368'3) · (1/x^1'715)

donde x es la distancia estimada y la y es la posición al igual que antes, el R² obtenido es de 99'6, bastante mejor que el anterior (con este resultado todavía no he hecho pruebas).

Para la confección de la “tira” utilizaremos un programa de dibujo que permita trabajar en 2D con exactitud, por ejemplo el AutoCAD donde podemos trabajar con una correspondencia en milímetros e indicarle a la hora de imprimirlo la misma correspondencia (una buena forma de comprobarlo es la de acotar diferentes medidas y comprobar que se corresponde con lo que le hemos puesto).

Después de imprimir la tirar y de fijarla a la rueda quedó esto:

Las distancias a partir de 30 han quedado bastante justas, pero quería enseñar en esta ocasión el método más que el resultado. A modo de prueba esta fue la primera tira que imprimí con los resultados que he mostrado. La distancia entre marcas variarán dependiendo del reparalaje que se haya hecho. También hay que decir que el método es válido para todos los teleobjetivos, pero la función/relación dependerá de cada teleobjetivo, de cada reparalaje, del diámetro de la rueda, del juego/error que pueda ofrecer cada rueda, etc...

Esto no es más que un ensayo o práctica y en ningún caso pretende ser la panacea. De hecho creo que aun siendo bastante válido, pues a mí me ha dado bastante buen resultado, lo mejor sería poder obtener todas las medidas haciéndolas de manera práctica; es decir cinta métrica, un buen banco de tiro, una carta de enfoque (en mi caso un periódico) y bastante tiempo.

Espero que os haya gustado y os parezca interesante.